如何与量子谐振子波函数进行数值积分？

如何对无限范围内的一维积分进行数值积分(采用什么数值方法,以及使用什么技巧),其中被积函数中的一个或多个函数是1d量子谐振子波函数.其中我想在谐振子基础上计算某些函数的矩阵元素:

披_Ñ(X)= N _ñ ħ _Ñ(X)EXP(-x ² /2)
其中H _Ñ(x)是厄米多项式

V _m,n =\int _ { - infinity} ^ {infinity} phi _m(x)V(x)phi _n(x)dx

同样在存在具有不同宽度的量子谐波波函数的情况下.

问题是波函数phi _n(x)具有振荡行为,这对于大n是一个问题,并且来自GSL(GNU Scientific Library)的自适应Gauss-Kronrod积分算法花费很长时间来计算,并且具有大的误差.

一个不完整的答案,因为我现在的时间有点短; 如果其他人无法完成图片,我可以在以后提供更多细节.

随时随地应用波函数的正交性.这应该会大大减少计算量.

无论你能做什么,都要进行分析.提升常数,按部分分割积分,无论如何.隔离感兴趣的区域; 大多数波函数都是带限的,减少感兴趣的区域将为保存工作做很多工作.

对于正交本身,您可能希望将波函数分成三个部分并将它们分开整合:中心的振荡位加上两侧的指数衰减尾部.如果波函数是奇数,你会很幸运,尾巴会相互抵消,这意味着你只需要担心中心.对于偶数波函数,你只需要将它加一个并加倍(对称性很好!).否则,使用高阶高斯 - 拉盖尔积分法则对尾部进行积分.您可能必须自己计算规则; 我不知道表格是否列出了高斯 - 拉盖尔规则,因为它们不经常使用.您可能还希望检查错误行为,因为规则中的节点数量会增加; 自从我使用高斯 - 拉盖尔规则以来我已经很久了 记住他们是否表现出龙格现象.使用您喜欢的任何方法集成中心部分; 当然,Gauss-Kronrod是一个可靠的选择,但也有Fejer积分(有时可以更好地扩展到大量节点,这可能在振荡积分上更好)甚至梯形规则(它具有某些振荡函数的惊人精度) ).选一个然后尝试一下; 如果结果很差,请给出另一种方法.选一个然后尝试一下; 如果结果很差,请给出另一种方法.选一个然后尝试一下; 如果结果很差,请给出另一种方法.

SO上有史以来最难的问题？几乎不 :)