这部分我们随机选取100个样本并可视化。训练集共有5000个训练样本，每个样本是20*20像素的数字的灰度图像。每个像素代表一个浮点数，表示该位置的灰度强度。20×20的像素网格被展开成一个400维的向量。在我们的数据矩阵X中，每一个样本都变成了一行，这给了我们一个5000×400矩阵X，每一行都是一个手写数字图像的训练样本。
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.io import loadmat import scipy.optimize as opt from sklearn.metrics import classification_report # 这个包是评价报告
def load_mat(path):
'''读取数据'''
data = loadmat('ex4data1.mat') # return a dict
X = data['X']
y = data['y'].flatten()
return X, y
def plot_100_images(X):
"""随机画100个数字"""
index = np.random.choice(range(5000), 100)
images = X[index]
fig, ax_array = plt.subplots(10, 10, sharey=True, sharex=True, figsize=(8, 8))
for r in range(10):
for c in range(10):
ax_array[r, c].matshow(images[r*10 + c].reshape(20,20), cmap='gray_r')
plt.xticks([])
plt.yticks([])
plt.show()
X,y = load_mat('ex4data1.mat')
plot_100_images(X)
我们的网络有三层，输入层，隐藏层，输出层。我们的输入是数字图像的像素值，因为每个数字的图像大小为20*20，所以我们输入层有400个单元（这里不包括总是输出要加一个偏置单元）。
首先我们要将标签值（1，2，3，4，…，10）转化成非线性相关的向量，向量对应位置（y[i-1]）上的值等于1，例如y[0]=6转化为y[0]=[0,0,0,0,0,1,0,0,0,0]。
from sklearn.preprocessing import OneHotEncoder
def expand_y(y):
result = []
# 把y中每个类别转化为一个向量，对应的lable值在向量对应位置上置为1
for i in y:
y_array = np.zeros(10)
y_array[i-1] = 1
result.append(y_array)
'''
# 或者用sklearn中OneHotEncoder函数
encoder = OneHotEncoder(sparse=False) # return a array instead of matrix
y_onehot = encoder.fit_transform(y.reshape(-1,1))
return y_onehot
'''
return np.array(result)
获取训练数据集，以及对训练集做相应的处理，得到我们的input X，lables y。
raw_X, raw_y = load_mat('ex4data1.mat')
X = np.insert(raw_X, 0, 1, axis=1)
y = expand_y(raw_y)
X.shape, y.shape
'''
((5000, 401), (5000, 10))
'''
.csdn.net/Cowry5/article/details/80399350
这里我们提供了已经训练好的参数θ1，θ2，存储在ex4weight.mat文件中。这些参数的维度由神经网络的大小决定，第二层有25个单元，输出层有10个单元(对应10个数字类)。
def load_weight(path):
data = loadmat(path)
return data['Theta1'], data['Theta2']
t1, t2 = load_weight('ex4weights.mat')
t1.shape, t2.shape
# ((25, 401), (10, 26))
当我们使用高级优化方法来优化神经网络时，我们需要将多个参数矩阵展开，才能传入优化函数，然后再恢复形状。
def serialize(a, b):
'''展开参数'''
return np.r_[a.flatten(),b.flatten()]
theta = serialize(t1, t2) # 扁平化参数，25*401+10*26=10285 theta.shape # (10285,)
def deserialize(seq):
'''提取参数'''
return seq[:25*401].reshape(25, 401), seq[25*401:].reshape(10, 26)
确保每层的单元数，注意输出时加一个偏置单元，s(1)=400+1，s(2)=25+1，s(3)=10。
def sigmoid(z):
return 1 / (1 + np.exp(-z))
def feed_forward(theta, X,):
'''得到每层的输入和输出'''
t1, t2 = deserialize(theta)
# 前面已经插入过偏置单元，这里就不用插入了
a1 = X
z2 = a1 @ t1.T
a2 = np.insert(sigmoid(z2), 0, 1, axis=1)
z3 = a2 @ t2.T
a3 = sigmoid(z3)
return a1, z2, a2, z3, a3
a1, z2, a2, z3, h = feed_forward(theta, X)
回顾下神经网络的代价函数（不带正则化项）
输出层输出的是对样本的预测，包含5000个数据，每个数据对应了一个包含10个元素的向量，代表了结果有10类。在公式中，每个元素与log项对应相乘。
最后我们使用提供训练好的参数θ，算出的cost应该为0.287629
def cost(theta, X, y):
a1, z2, a2, z3, h = feed_forward(theta, X)
J = 0
for i in range(len(X)):
first = - y[i] * np.log(h[i])
second = (1 - y[i]) * np.log(1 - h[i])
J = J + np.sum(first - second)
J = J / len(X)
return J
'''
# or just use verctorization
J = - y * np.log(h) - (1 - y) * np.log(1 - h)
return J.sum() / len(X)
'''
cost(theta, X, y) # 0.2876291651613189
注意不要将每层的偏置项正则化。
最后You should see that the cost is about 0.383770
def regularized_cost(theta, X, y, l=1):
'''正则化时忽略每层的偏置项，也就是参数矩阵的第一列'''
t1, t2 = deserialize(theta)
reg = np.sum(t1[:,1:] ** 2) + np.sum(t2[:,1:] ** 2) # or use np.power(a, 2)
return l / (2 * len(X)) * reg + cost(theta, X, y)
regularized_cost(theta, X, y, 1) # 0.38376985909092354
这里可以手动推导，并不难。
def sigmoid_gradient(z):
return sigmoid(z) * (1 - sigmoid(z))
当我们训练神经网络时，随机初始化参数是很重要的，可以打破数据的对称性。一个有效的策略是在均匀分布(−e，e)中随机选择值，我们可以选择 e = 0.12 这个范围的值来确保参数足够小，使得训练更有效率。
def random_init(size):
'''从服从的均匀分布的范围中随机返回size大小的值'''
return np.random.uniform(-0.12, 0.12, size)
目标：获取整个网络代价函数的梯度。以便在优化算法中求解。
这里面一定要理解正向传播和反向传播的过程，才能弄清楚各种参数在网络中的维度，切记。比如手写出每次传播的式子。
print('a1', a1.shape,'t1', t1.shape)
print('z2', z2.shape)
print('a2', a2.shape, 't2', t2.shape)
print('z3', z3.shape)
print('a3', h.shape)
'''
a1 (5000, 401) t1 (25, 401)
z2 (5000, 25)
a2 (5000, 26) t2 (10, 26)
z3 (5000, 10)
a3 (5000, 10)
'''
def gradient(theta, X, y):
'''
unregularized gradient, notice no d1 since the input layer has no error
return 所有参数theta的梯度，故梯度D(i)和参数theta(i)同shape，重要。
'''
t1, t2 = deserialize(theta)
a1, z2, a2, z3, h = feed_forward(theta, X)
d3 = h - y # (5000, 10)
d2 = d3 @ t2[:,1:] * sigmoid_gradient(z2) # (5000, 25)
D2 = d3.T @ a2 # (10, 26)
D1 = d2.T @ a1 # (25, 401)
D = (1 / len(X)) * serialize(D1, D2) # (10285,)
return D
在你的神经网络,你是最小化代价函数J(Θ)。执行梯度检查你的参数,你可以想象展开参数Θ(1)Θ(2)成一个长向量θ。通过这样做,你能使用以下梯度检查过程。
def gradient_checking(theta, X, y, e):
def a_numeric_grad(plus, minus):
"""
对每个参数theta_i计算数值梯度，即理论梯度。
"""
return (regularized_cost(plus, X, y) - regularized_cost(minus, X, y)) / (e * 2)
numeric_grad = []
for i in range(len(theta)):
plus = theta.copy() # deep copy otherwise you will change the raw theta
minus = theta.copy()
plus[i] = plus[i] + e
minus[i] = minus[i] - e
grad_i = a_numeric_grad(plus, minus)
numeric_grad.append(grad_i)
numeric_grad = np.array(numeric_grad)
analytic_grad = regularized_gradient(theta, X, y)
diff = np.linalg.norm(numeric_grad - analytic_grad) / np.linalg.norm(numeric_grad + analytic_grad)
print('If your backpropagation implementation is correct,\nthe relative difference will be smaller than 10e-9 (assume epsilon=0.0001).\nRelative Difference: {}\n'.format(diff))
gradient_checking(theta, X, y, epsilon= 0.0001)#这个运行很慢，谨慎运行
def regularized_gradient(theta, X, y, l=1):
"""不惩罚偏置单元的参数"""
a1, z2, a2, z3, h = feed_forward(theta, X)
D1, D2 = deserialize(gradient(theta, X, y))
t1[:,0] = 0
t2[:,0] = 0
reg_D1 = D1 + (l / len(X)) * t1
reg_D2 = D2 + (l / len(X)) * t2
return serialize(reg_D1, reg_D2)
def nn_training(X, y):
init_theta = random_init(10285) # 25*401 + 10*26
res = opt.minimize(fun=regularized_cost,
x0=init_theta,
args=(X, y, 1),
method='TNC',
jac=regularized_gradient,
options={'maxiter': 400})
return res
res = nn_training(X, y)#慢
res
'''
fun: 0.5156784004838036
jac: array([-2.51032294e-04, -2.11248326e-12, 4.38829369e-13, ...,
9.88299811e-05, -2.59923586e-03, -8.52351187e-04])
message: 'Converged (|f_n-f_(n-1)| ~= 0)'
nfev: 271
nit: 17
status: 1
success: True
x: array([ 0.58440213, -0.02013683, 0.1118854 , ..., -2.8959637 ,
1.85893941, -2.78756836])
'''
def accuracy(theta, X, y):
_, _, _, _, h = feed_forward(res.x, X)
y_pred = np.argmax(h, axis=1) + 1
print(classification_report(y, y_pred))
accuracy(res.x, X, raw_y)
'''
precision recall f1-score support
1 0.97 0.99 0.98 500
2 0.98 0.97 0.98 500
3 0.98 0.95 0.96 500
4 0.98 0.97 0.97 500
5 0.97 0.98 0.97 500
6 0.99 0.98 0.98 500
7 0.99 0.97 0.98 500
8 0.96 0.98 0.97 500
9 0.97 0.98 0.97 500
10 0.99 0.99 0.99 500
avg / total 0.98 0.98 0.98 5000
'''
理解神经网络是如何学习的一个很好的办法是，可视化隐藏层单元所捕获的内容。通俗的说，给定一个的隐藏层单元，可视化它所计算的内容的方法是找到一个输入x，x可以激活这个单元（也就是说有一个激活值接近与1）。对于我们所训练的网络，注意到θ1中每一行都是一个401维的向量，代表每个隐藏层单元的参数。如果我们忽略偏置项，我们就能得到400维的向量，这个向量代表每个样本输入到每个隐层单元的像素的权重。因此可视化的一个方法是，reshape这个400维的向量为（20，20）的图像然后输出。
注：
It turns out that this is equivalent to finding the input that gives the highest activation for the hidden unit, given a norm constraint on the input.
这相当于找到了一个输入，给了隐层单元最高的激活值，给定了一个输入的标准限制。例如(||x||2≤1)
(这部分暂时不太理解)
def plot_hidden(theta):
t1, _ = deserialize(theta)
t1 = t1[:, 1:]
fig,ax_array = plt.subplots(5, 5, sharex=True, sharey=True, figsize=(6,6))
for r in range(5):
for c in range(5):
ax_array[r, c].matshow(t1[r * 5 + c].reshape(20, 20), cmap='gray_r')
plt.xticks([])
plt.yticks([])
plt.show()
plot_hidden(res.x)
到此在这篇练习中，你将学习如何用反向传播算法来学习神经网络的参数，更多相关机器学习，神经网络内容请搜索以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持！
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