罗素的悖论

设X是不包含自身的所有集合的集合.X是X的成员吗？

在ZFC中,基础公理[如上所述]或公理(方案)理解将禁止这一点.第一,原因显而易见; 第二,因为它基本上是说,对于给定ž和一阶属性P,你可以构造{ X ∈ ž:P(X)},但产生的罗素集,就需要ž = V(类所有的集合),它不是一个集合(即不能从任何给定的公理生成).

在新的基金会(NF)," X ∉ X "是不是一个分层公式,所以我们再次不能定义罗素集.然而,有点有趣的是,V 是NF中的一个集合.

在冯·诺依曼-伯奈斯-哥德尔集合论(NBG)时,类- [R = { X:X是一组和X ∉ X }是可定义的.然后,我们问是否[R ∈ [R ; 如果是这样,那么也[R&NotElement [R ,给人一种矛盾.因此,我们必须有[R ∉ [R .但没有矛盾吗,因为对于任何给定的类一,一 ∉ [R就意味着是一个 ∈ 一个或一个是正确的类.由于[R ∉ [R,我们必须简单地认为R是一个合适的类.

当然,类- [R = { X:X ∉ X },没有限制,根本就不是在可定义NBG.

另外值得注意的是,上述程序可以正式构建为NBG中的证明,而在ZFC中,必须采用元推理.