NumPy中最小二乘算法的有效计算

我需要在最小二乘意义上解决大量的线性系统.我有在理解的计算效率的差异麻烦numpy.linalg.lstsq(a, b),np.dot(np.linalg.pinv(a), b)和数学实施.

我使用以下矩阵:

h=np.random.random((50000,100))
a=h[:,:-1].copy()
b=-h[:,-1].copy()

并且算法的结果是:

# mathematical implementation
%%timeit
np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(a.T,a)),a.T),b)

10个循环,最佳3:36.3 ms每个循环

# numpy.linalg.lstsq implementation
%%timeit
np.linalg.lstsq(a, b)[0]

10个循环,最佳3:每循环103毫秒

%%timeit
np.dot(np.linalg.pinv(a), b)

1个循环,最佳3:216 ms每个循环

为什么会有区别？

该例程lstsq处理任何系统:过度确定,未确定或未确定.它的输出是你从pinv(a)*b得到的,但它比计算伪逆更快.原因如下:

一般建议:除非您确实需要,否则不要计算逆矩阵.为特定右手侧求解系统比反转其矩阵更快.

然而,即使您正在反转矩阵,通过求解^T a = a ^T b的方法也会更快.是什么赋予了？反之,反转^T a仅在具有完整列等级时才有效.所以你已经把这个问题局限于这种特殊情况,并且作为一种权衡获得了不那么普遍的权利,并且如下所示,安全性较低.

但是反转矩阵仍然是低效的.如果您知道a具有完整的列排名,则以下内容比您的三次尝试中的任何一次更快:

np.linalg.solve(np.dot(a.T, a), np.dot(a.T, b))

也就是说,lstsq当处理条件差的矩阵时, 仍然优于上述内容.形成产品^T a基本上对条件数进行平方,因此您更有可能获得无意义的结果.这是一个警示的例子,使用SciPy的linalg模块(它基本上等同于NumPy但有更多方法):

import numpy as np
import scipy.linalg as sl
a = sl.hilbert(10)    # a poorly conditioned square matrix of size 10
b = np.arange(10)     # right hand side
sol1 = sl.solve(a, b)
sol2 = sl.lstsq(a, b)[0]
sol3 = sl.solve(np.dot(a.T, a), np.dot(a.T, b))

这里lstsq提供的输出几乎与solve(该系统的独特解决方案)相同.然而,sol3由于数字问题(你甚至不会被警告),这是完全错误的.

SOL1:

  [ -9.89821788e+02,   9.70047434e+04,  -2.30439738e+06,
     2.30601241e+07,  -1.19805858e+08,   3.55637424e+08,
    -6.25523002e+08,   6.44058066e+08,  -3.58346765e+08,
     8.31333426e+07]

SOL2:

  [ -9.89864366e+02,   9.70082635e+04,  -2.30446978e+06,
     2.30607638e+07,  -1.19808838e+08,   3.55645452e+08,
    -6.25535946e+08,   6.44070387e+08,  -3.58353147e+08,
     8.31347297e+07]

SOL3:

  [  1.06913852e+03,  -4.61691763e+04,   4.83968833e+05,
    -2.08929571e+06,   4.55280530e+06,  -5.88433943e+06,
     5.92025910e+06,  -5.56507455e+06,   3.62262620e+06,
    -9.94523917e+05]