如何用两点和半径大小计算椭圆的中心

在将Internet Explorer的SVG实现基于其自己的VML格式时,我遇到了将SVG椭圆弧转换为VML椭圆弧的问题.

在VML中,弧由下式给出:椭圆上的两个点和半径的长度的两个角度.在SVG中,弧由下式给出:椭圆上的两个点的两对坐标和椭圆边界框的大小

因此,问题是:如何将椭圆上的两个点的角度表示为两对坐标.一个中间问题可能是:如何通过曲线上一对点的坐标找到椭圆的中心.

更新:让我们有一个前提条件,即通常放置椭圆(其半径与线性坐标系轴平行),因此不应用旋转.

更新:此问题与svg:ellipse元素无关,而与svg:path元素中的"a"椭圆弧命令无关(SVG路径:椭圆弧曲线命令)

1> Sergey Ilins..：

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所以解决方案在这里:

椭圆的参数化公式:

x = x0 + a * cos(t)
y = y0 + b * sin(t)

让我们把两点的已知坐标放到它上面:

x1 = x0 + a * cos(t1)
x2 = x0 + a * cos(t2)
y1 = y0 + b * sin(t1)
y2 = y0 + b * sin(t2)

现在我们有一个包含4个变量的方程组:椭圆中心(x0/y0)和两个角度t1,t2

让我们减去方程式以摆脱中心坐标:

x1 - x2 = a * (cos(t1) - cos(t2))
y1 - y2 = b * (sin(t1) - sin(t2))

这可以重写(使用产品 - 总和身份公式):

(x1 - x2) / (2 * a) = sin((t1 + t2) / 2) * sin((t1 - t2) / 2)
(y2 - y1) / (2 * b) = cos((t1 + t2) / 2) * sin((t1 - t2) / 2)

让我们替换一些方程式:

r1: (x1 - x2) / (2 * a)
r2: (y2 - y1) / (2 * b)
a1: (t1 + t2) / 2
a2: (t1 - t2) / 2

然后我们得到简单的方程组:

r1 = sin(a1) * sin(a2)
r2 = cos(a1) * sin(a2)

将第一个等式除以秒产生:

a1 = arctan(r1/r2)

将此结果添加到第一个等式给出:

a2 = arcsin(r2 / cos(arctan(r1/r2)))

或者,简单(使用trig和inverse trig函数的组合):

a2 = arcsin(r2 / (1 / sqrt(1 + (r1/r2)^2)))

甚至更简单:

a2 = arcsin(sqrt(r1^2 + r2^2))

现在可以轻松地解析最初的四方程系统,并且可以找到所有角度以及日食中心坐标.

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明确:t1 = a1 + a2,t2 = a1-a2,x0 = x1-a*cos(t1),y0 = y1-b*sin(t1)

2> Rikki..：

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您发布的椭圆曲线弧链接包含椭圆弧实施说明的链接.

在那里,您将找到从端点到中心参数化的转换公式.

下面是我对这些方程的JavaScript实现,取自椭圆弧路径的交互式演示,使用Sylvester.js执行矩阵和向量计算.

// Calculate the centre of the ellipse
// Based on http://www.w3.org/TR/SVG/implnote.html#ArcConversionEndpointToCenter
var x1 = 150;  // Starting x-point of the arc
var y1 = 150;  // Starting y-point of the arc
var x2 = 400;  // End x-point of the arc
var y2 = 300;  // End y-point of the arc
var fA = 1;    // Large arc flag
var fS = 1;    // Sweep flag
var rx = 100;  // Horizontal radius of ellipse
var ry =  50;  // Vertical radius of ellipse
var phi = 0;   // Angle between co-ord system and ellipse x-axes

var Cx, Cy;

// Step 1: Compute (x1?, y1?)
var M = $M([
               [ Math.cos(phi), Math.sin(phi)],
               [-Math.sin(phi), Math.cos(phi)]
            ]);
var V = $V( [ (x1-x2)/2, (y1-y2)/2 ] );
var P = M.multiply(V);

var x1p = P.e(1);  // x1 prime
var y1p = P.e(2);  // y1 prime


// Ensure radii are large enough
// Based on http://www.w3.org/TR/SVG/implnote.html#ArcOutOfRangeParameters
// Step (a): Ensure radii are non-zero
// Step (b): Ensure radii are positive
rx = Math.abs(rx);
ry = Math.abs(ry);
// Step (c): Ensure radii are large enough
var lambda = ( (x1p * x1p) / (rx * rx) ) + ( (y1p * y1p) / (ry * ry) );
if(lambda > 1)
{
    rx = Math.sqrt(lambda) * rx;
    ry = Math.sqrt(lambda) * ry;
}


// Step 2: Compute (cx?, cy?)
var sign = (fA == fS)? -1 : 1;
// Bit of a hack, as presumably rounding errors were making his negative inside the square root!
if((( (rx*rx*ry*ry) - (rx*rx*y1p*y1p) - (ry*ry*x1p*x1p) ) / ( (rx*rx*y1p*y1p) + (ry*ry*x1p*x1p) )) < 1e-7)
    var co = 0;
else
    var co = sign * Math.sqrt( ( (rx*rx*ry*ry) - (rx*rx*y1p*y1p) - (ry*ry*x1p*x1p) ) / ( (rx*rx*y1p*y1p) + (ry*ry*x1p*x1p) ) );
var V = $V( [rx*y1p/ry, -ry*x1p/rx] );
var Cp = V.multiply(co);

// Step 3: Compute (cx, cy) from (cx?, cy?)
var M = $M([
               [ Math.cos(phi), -Math.sin(phi)],
               [ Math.sin(phi),  Math.cos(phi)]
            ]);
var V = $V( [ (x1+x2)/2, (y1+y2)/2 ] );
var C = M.multiply(Cp).add(V);

Cx = C.e(1);
Cy = C.e(2);